Как определить тип уравнения второго порядка в частных производных?

По знаку дискриминанта B² − AC: положительный — гиперболический тип, нулевой — параболический, отрицательный — эллиптический. Затем приводим уравнение к каноническому виду заменой переменных.

Разбираете ли задачи с неоднородными граничными условиями?

Да. Сводим задачу к однородным условиям подходящей заменой (например, вычитанием стационарного решения) и затем применяем метод Фурье.

Помогаете ли с уравнением Лапласа в полярных координатах?

Да. Для круга и кольца разбираем разделение переменных в полярных координатах, ряд по cos nφ, sin nφ и условие ограниченности решения.

Нужны ли специальные функции, если в условии цилиндр или шар?

Да. В таких задачах применяются функции Бесселя и полиномы Лежандра. Решение оформляем с указанием собственных значений и ортогональности функций.

Уравнения математической физики — помощь с решением задач

Помогаем с типовыми расчётными по УМФ: классификация уравнений, метод разделения переменных, задачи для уравнений теплопроводности, колебаний и Лапласа. В решении выписываем задачу Штурма — Лиувилля, коэффициенты ряда Фурье и проверяем начальные и граничные условия.

Стоимость: от 550 ₽ за задачу. Точную цену называем после изучения условия.

Оставить заявку

Какие задачи разбираем

Классификация уравнений второго порядка и приведение к каноническому виду
Уравнение колебаний струны, формула Даламбера
Метод Фурье (разделения переменных) для колебаний струны
Уравнение теплопроводности на отрезке с однородными граничными условиями
Задачи с неоднородными граничными условиями и источником
Задача Штурма — Лиувилля, собственные функции и собственные значения
Уравнение Лапласа в круге, прямоугольнике, кольце
Уравнение Пуассона и функция Грина
Задача Коши для уравнения теплопроводности (формула Пуассона)
Специальные функции: Бесселя, полиномы Лежандра

Примеры решений

Так выглядит наш разбор: условие, ход решения по шагам и проверенный ответ.

ПРИМЕР 1.EXE

Уравнение теплопроводности на отрезке методом Фурье

Условие

Решить задачу: u_t = a²·u_xx, 0 < x < π, t > 0; u(0, t) = u(π, t) = 0; u(x, 0) = 3 sin x + 2 sin 3x.

Решение

1.Ищем решение в виде u(x, t) = X(x)·T(t). Подстановка даёт X″/X = T′/(a²T) = −λ.
2.Задача Штурма — Лиувилля: X″ + λX = 0, X(0) = X(π) = 0. Собственные значения λ_n = n², собственные функции X_n = sin nx, n = 1, 2, …
3.Для T: T′ + a²n²T = 0, откуда T_n = e^(−a²n²t).
4.Общее решение: u = Σ b_n·e^(−a²n²t)·sin nx.
5.Начальное условие: Σ b_n sin nx = 3 sin x + 2 sin 3x. По единственности разложения в ряд Фурье по sin nx: b₁ = 3, b₃ = 2, остальные b_n = 0.
6.Проверка: u_t = −3a²e^(−a²t) sin x − 18a²e^(−9a²t) sin 3x, a²·u_xx даёт то же; u(0, t) = u(π, t) = 0; u(x, 0) = 3 sin x + 2 sin 3x.

Ответ

u(x, t) = 3e^(−a²t)·sin x + 2e^(−9a²t)·sin 3x

ПРИМЕР 2.EXE

Колебания струны с закреплёнными концами

Условие

Решить задачу: u_tt = 4u_xx, 0 < x < π, t > 0; u(0, t) = u(π, t) = 0; u(x, 0) = sin 2x; u_t(x, 0) = sin x.

Решение

1.Здесь a = 2. Разделение переменных с граничными условиями даёт X_n = sin nx, λ_n = n².
2.Для T_n: T″ + a²n²T = 0, T_n = A_n·cos(2nt) + B_n·sin(2nt).
3.Общее решение: u = Σ [A_n cos 2nt + B_n sin 2nt]·sin nx.
4.Из u(x, 0) = sin 2x: A₂ = 1, остальные A_n = 0.
5.Из u_t(x, 0) = Σ 2n·B_n·sin nx = sin x: при n = 1 имеем 2B₁ = 1, B₁ = 1/2, остальные B_n = 0.
6.Собираем: u = cos 4t·sin 2x + (1/2)·sin 2t·sin x.
7.Проверка: u_tt = −16 cos 4t sin 2x − 2 sin 2t sin x, 4u_xx = −16 cos 4t sin 2x − 2 sin 2t sin x — совпадает; u_t(x, 0) = sin x.

Ответ

u(x, t) = cos 4t·sin 2x + (1/2)·sin 2t·sin x

Типичные ошибки

Неверно записывают знак константы разделения и получают неограниченные или неверные собственные функции.
Не решают задачу Штурма — Лиувилля до конца: пропускают случаи λ ≤ 0 или неверно выбирают собственные функции для других граничных условий.
В уравнении колебаний забывают, что при разложении u_t(x, 0) коэффициент B_n умножается на a·n·(π/l).
Ошибаются в вычислении коэффициентов ряда Фурье: неверная норма собственных функций, потерянный множитель 2/l.
Пытаются применять метод разделения переменных при неоднородных граничных условиях, не сводя задачу к однородной заменой.
Не проверяют, что найденное решение удовлетворяет и уравнению, и начальным и граничным условиям.

Стоимость

от 550 ₽ за задачу

Пришлите условие — оценим объём и назовём итоговую цену, включая работу на заказ по вашему варианту

Оставить заявку — бесплатно

Частые вопросы

Другие разделы

Все разделы решения задач

Нужна помощь с вашим вариантом?

Опишите задачу — ответим за 30 минут и согласуем детали

Оставить заявку →