Что лучше для СЛАУ: метод Крамера, Гаусса или матричный?

Для систем 2×2 и 3×3 с ненулевым определителем удобен Крамер. Для больших и вырожденных систем нужен метод Гаусса. В решении используем тот метод, который требует задание или методичка.

Как проверить найденную обратную матрицу?

Умножьте A на A⁻¹: результат должен быть единичной матрицей. Такую проверку включаем в решение.

Разбираете ли квадратичные формы и жорданову форму?

Да. Приводим квадратичные формы к каноническому виду методом Лагранжа или ортогональным преобразованием, разбираем жорданову форму и функции от матриц.

Можно ли получить решение для большой матрицы 4×4 и выше?

Да. Показываем ход преобразований по шагам и сверяем результат с расчётом в системе компьютерной алгебры.

Линейная алгебра — помощь с решением задач

Помогаем с расчётными по линейной алгебре и аналитической геометрии: матрицы, системы уравнений, векторные пространства, линейные операторы и квадратичные формы. Каждое действие в решении объясняем, а результат проверяем подстановкой.

Стоимость: от 550 ₽ за задачу. Точную цену называем после изучения условия.

Оставить заявку

Какие задачи разбираем

Вычисление определителей 2-го, 3-го и высших порядков
Действия с матрицами, обратная матрица и матричные уравнения
Ранг матрицы и теорема Кронекера — Капелли
Решение СЛАУ методами Крамера, Гаусса и матричным способом
Фундаментальная система решений однородных систем
Собственные значения и собственные векторы матрицы
Линейная зависимость векторов, базис и размерность
Матрица линейного оператора и переход к новому базису
Приведение квадратичной формы к каноническому виду
Евклидовы пространства, ортогонализация Грама — Шмидта

Примеры решений

Так выглядит наш разбор: условие, ход решения по шагам и проверенный ответ.

ПРИМЕР 1.EXE

Решение системы по формулам Крамера

Условие

Решить систему методом Крамера: 2x + y − z = 1; x − y + 2z = 5; 3x + 2y + z = 10.

Решение

1.Главный определитель Δ = |2 1 −1; 1 −1 2; 3 2 1|.
2.Раскладываем по первой строке: Δ = 2·(−1·1 − 2·2) − 1·(1·1 − 2·3) + (−1)·(1·2 − (−1)·3) = 2·(−5) − 1·(−5) − 5 = −10 + 5 − 5 = −10.
3.Δ ≠ 0, значит, система имеет единственное решение.
4.Δx (первый столбец заменён на 1, 5, 10): Δx = 1·(−1·1 − 2·2) − 1·(5·1 − 2·10) + (−1)·(5·2 − (−1)·10) = −5 + 15 − 20 = −10.
5.Δy (второй столбец заменён): Δy = 2·(5·1 − 2·10) − 1·(1·1 − 2·3) + (−1)·(1·10 − 5·3) = −30 + 5 + 5 = −20.
6.Δz (третий столбец заменён): Δz = 2·(−1·10 − 5·2) − 1·(1·10 − 5·3) + 1·(1·2 − (−1)·3) = −40 + 5 + 5 = −30.
7.x = Δx/Δ = 1, y = Δy/Δ = 2, z = Δz/Δ = 3.
8.Проверка: 2·1 + 2 − 3 = 1; 1 − 2 + 6 = 5; 3 + 4 + 3 = 10.

Ответ

Δ = −10, Δx = −10, Δy = −20, Δz = −30; x = 1, y = 2, z = 3

ПРИМЕР 2.EXE

Собственные значения и собственные векторы

Условие

Найти собственные значения и собственные векторы матрицы A = (4 1; 2 3).

Решение

1.Характеристическое уравнение: det(A − λE) = (4 − λ)(3 − λ) − 1·2 = 0.
2.Раскрываем: λ² − 7λ + 10 = 0. По теореме Виета λ₁ = 2, λ₂ = 5 (след 7, определитель 10).
3.Для λ₁ = 2: (A − 2E)v = 0, матрица (2 1; 2 1), уравнение 2x + y = 0, откуда y = −2x, вектор v₁ = (1; −2).
4.Для λ₂ = 5: (A − 5E)v = 0, матрица (−1 1; 2 −2), уравнение −x + y = 0, вектор v₂ = (1; 1).
5.Проверка: A·v₁ = (4 − 2; 2 − 6) = (2; −4) = 2·v₁; A·v₂ = (5; 5) = 5·v₂.

Ответ

λ₁ = 2, v₁ = (1; −2); λ₂ = 5, v₂ = (1; 1)

Типичные ошибки

Ошибки в знаках при разложении определителя по строке или столбцу (знак (−1)^(i+j)).
Путают порядок сомножителей при перемножении матриц: AB ≠ BA.
При нахождении обратной матрицы забывают транспонировать матрицу алгебраических дополнений.
Применяют метод Крамера при Δ = 0 или к неквадратной системе.
Записывают нулевой вектор как собственный или не проверяют, что вектор ненулевой.
В методе Гаусса выполняют недопустимые действия над строками (умножение строки на 0) и теряют эквивалентность системы.

Стоимость

от 550 ₽ за задачу

Пришлите условие — оценим объём и назовём итоговую цену, включая работу на заказ по вашему варианту

Оставить заявку — бесплатно

Частые вопросы

Другие разделы

Все разделы решения задач

Нужна помощь с вашим вариантом?

Опишите задачу — ответим за 30 минут и согласуем детали

Оставить заявку →