Как определить тип дифференциального уравнения первого порядка?

Сначала проверьте, разделяются ли переменные, затем однородность (замена y = u·x), линейность (y′ + P·y = Q), уравнение Бернулли и уравнение в полных дифференциалах (∂P/∂y = ∂Q/∂x). В разборе мы показываем, по какому признаку выбран метод.

Разбираете ли вы задачи Коши и краевые задачи?

Да. В решении находим общий интеграл или общее решение, затем определяем константы из начальных или граничных условий и проверяем результат подстановкой.

Помогаете ли с операционным методом и системами уравнений?

Да. Помогаем с решением через преобразование Лапласа и с системами линейных уравнений методом исключения или через собственные значения матрицы.

Подойдёт ли разбор, если у меня свой вариант из методички?

Да. Пришлите условие и требования кафедры: оформим решение в том виде, который принят в вашем курсе, и объясним ключевые шаги.

Дифференциальные уравнения — помощь с решением задач

Помогаем разобраться с типовыми расчётными по дифференциальным уравнениям: от уравнений первого порядка до линейных уравнений с постоянными коэффициентами и систем. Каждое решение оформляем по шагам, чтобы вы могли повторить ход рассуждений и защитить работу у преподавателя.

Стоимость: от 550 ₽ за задачу. Точную цену называем после изучения условия.

Оставить заявку

Какие задачи разбираем

Уравнения с разделяющимися переменными
Однородные уравнения первого порядка
Линейные уравнения первого порядка и уравнение Бернулли
Уравнения в полных дифференциалах
Линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Метод вариации постоянных и подбор частного решения по виду правой части
Задача Коши и краевые задачи
Системы линейных дифференциальных уравнений
Операционный метод (преобразование Лапласа)
Устойчивость решений и фазовые портреты

Примеры решений

Так выглядит наш разбор: условие, ход решения по шагам и проверенный ответ.

ПРИМЕР 1.EXE

Линейное уравнение первого порядка с начальным условием

Условие

Решить задачу Коши: y′ + y = x, y(0) = 1.

Решение

1.Уравнение линейное: y′ + P(x)·y = Q(x), где P(x) = 1, Q(x) = x.
2.Интегрирующий множитель: μ(x) = e^(∫1 dx) = e^x.
3.Умножаем обе части на e^x: (y·e^x)′ = x·e^x.
4.Интегрируем по частям: ∫ x·e^x dx = (x − 1)·e^x + C.
5.Тогда y·e^x = (x − 1)·e^x + C, то есть y = x − 1 + C·e^(−x).
6.Подставляем y(0) = 1: 1 = 0 − 1 + C, откуда C = 2.
7.Проверка: y′ + y = (1 − 2e^(−x)) + (x − 1 + 2e^(−x)) = x, y(0) = −1 + 2 = 1.

Ответ

y = x − 1 + 2e^(−x)

ПРИМЕР 2.EXE

Линейное однородное уравнение второго порядка, задача Коши

Условие

Решить задачу Коши: y″ − 3y′ + 2y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 0.

Решение

1.Характеристическое уравнение: r² − 3r + 2 = 0.
2.Дискриминант D = 9 − 8 = 1, корни r₁ = 1, r₂ = 2 (различные вещественные).
3.Общее решение: y = C₁·e^x + C₂·e^(2x).
4.Производная: y′ = C₁·e^x + 2C₂·e^(2x).
5.Из y(0) = 1: C₁ + C₂ = 1. Из y′(0) = 0: C₁ + 2C₂ = 0.
6.Вычитаем первое уравнение из второго: C₂ = −1, тогда C₁ = 2.
7.Проверка: y″ − 3y′ + 2y = 0 выполняется для каждого слагаемого; y(0) = 2 − 1 = 1, y′(0) = 2 − 2 = 0.

Ответ

y = 2e^x − e^(2x)

Типичные ошибки

Теряют решение y = 0 при делении на функцию от y в уравнениях с разделяющимися переменными.
Забывают константу интегрирования или ставят её не там, где нужно, из-за чего начальное условие даёт неверное значение C.
Неверно определяют вид частного решения: не учитывают, что показатель правой части совпадает с корнем характеристического уравнения (нужен множитель x или x²).
При комплексных корнях r = α ± iβ записывают решение через e^(αx) без множителей cos βx и sin βx.
Подставляют начальные условия в общее решение до вычисления производной, когда задано y′(x₀).
Не делают проверку подстановкой в исходное уравнение и пропускают арифметические ошибки.

Стоимость

от 550 ₽ за задачу

Пришлите условие — оценим объём и назовём итоговую цену, включая работу на заказ по вашему варианту

Оставить заявку — бесплатно

Частые вопросы

Другие разделы

Все разделы решения задач

Нужна помощь с вашим вариантом?

Опишите задачу — ответим за 30 минут и согласуем детали

Оставить заявку →