Сопротивление материалов — помощь с решением задач

Балка на двух шарнирных опорах пролётом L = 4 м загружена равномерно распределённой нагрузкой q = 10 кН/м. Сечение прямоугольное b × h = 100 × 200 мм. Найти опорные реакции, наибольший изгибающий момент и наибольшее нормальное напряжение.

1. 1.Равнодействующая нагрузки: Q = q·L = 10·4 = 40 кН. Из симметрии R_A = R_B = Q/2 = 20 кН.
2. 2.Поперечная сила: Q(x) = R_A − q·x = 20 − 10x (кН). Она равна нулю при x = 2 м — в середине пролёта.
3. 3.Изгибающий момент: M(x) = R_A·x − q·x²/2 = 20x − 5x². Максимум при x = 2 м.
4. 4.M_max = 20·2 − 5·4 = 20 кН·м (совпадает с формулой q·L²/8 = 10·16/8 = 20 кН·м).
5. 5.Момент сопротивления сечения: W = b·h²/6 = 100·200²/6 ≈ 666 667 мм³ ≈ 6,67·10⁵ мм³.
6. 6.Наибольшее нормальное напряжение: σ_max = M_max/W = 20·10⁶ Н·мм / 666 667 мм³ = 30 МПа.
7. 7.Для стали с допускаемым напряжением [σ] = 160 МПа условие прочности σ_max ≤ [σ] выполняется: 30 МПа ≤ 160 МПа.

Стальной стержень круглого сечения диаметром d = 20 мм и длиной L = 2 м растягивается силой F = 50 кН. Модуль упругости E = 200 ГПа. Найти нормальное напряжение и удлинение стержня.

1. 1.Продольная сила по всей длине постоянна: N = F = 50 кН = 50 000 Н.
2. 2.Площадь сечения: A = π·d²/4 = π·400/4 = 100π ≈ 314,16 мм².
3. 3.Нормальное напряжение: σ = N/A = 50 000/314,16 ≈ 159,15 МПа.
4. 4.Закон Гука: ε = σ/E = 159,15/200 000 ≈ 7,96·10⁻⁴.
5. 5.Удлинение: ΔL = ε·L = 7,96·10⁻⁴·2000 мм ≈ 1,59 мм.
6. 6.Для сравнения: ΔL = N·L/(E·A) = 50 000·2000/(200 000·314,16) ≈ 1,59 мм.